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2025-2026学年上学期期末

2025-2026学年上学期期末试卷（回忆整理）​

说明​

根据手写回忆稿整理，题目可能与原卷存在出入。第 1—5 道选择题没有选项。选择第 7 题按“八进制各位数字之和”的整除判别补全，补全版本经维护者确认采用。回忆稿页首记录分值为选择题 3×103\times10、填空题 3×103\times10、计算题 10×310\times3、证明题 10×110\times1。

一、选择题（每题 3 分，共 30 分）​

  1. 693693 的素因数个数为（ ）。

  2. 3030 以内的素数个数为（ ）。

  3. 36,42,4836,42,48 的最大公约数为（ ）。

  4. 以下哪两个数互质？

  5. 以下哪三个数互质？

  6. 对于形如 5k+35k+3 的正整数，以下哪种形式是该正整数的素因数？

    A. 5k+15k+1

    B. 5k+25k+2

    C. 5k+35k+3

    D. 5k+25k+2 或 5k+35k+3

  7. 将任意正整数写成八进制。若“各位数字之和能被 nn 整除”是“该正整数能被 nn 整除”的充要条件，则 nn 可以取（ ）。

    A. 22

    B. 33

    C. 77

    D. 以上都是

  8. 同余式 3x≡9(mod12)3x\equiv9\pmod{12} 的解的个数为（ ）。

    A. 00

    B. 11

    C. 22

    D. 33

  9. 下列不是奇素数 pp 的完全简化剩余类的是（ ）。

    A. 1,2,3,…,p−11,2,3,\ldots,p-1

    B. 1(p−1),2(p−1),…,(p−1)(p−1)1(p-1),2(p-1),\ldots,(p-1)(p-1)

    C. 12,22,32,…,(p−1)21^2,2^2,3^2,\ldots,(p-1)^2

    D. 1p,2p,3p,…,(p−1)p1^p,2^p,3^p,\ldots,(p-1)^p

  10. 以下正确的是（ ）。

    A. 有一个正奇数 pp，它的完全简化剩余类肯定有 1,2,p−1,p−21,2,p-1,p-2

    B. 若 n>2n>2，那么 φ(n)\varphi(n) 为奇数

    C. 若 (a,n)=1(a,n)=1，则 an≡a(modn)a^n\equiv a\pmod n

    D. 以上都对

二、填空题（每题 3 分，共 30 分）​

  1. 已知 gcd⁡(m,n)=1\gcd(m,n)=1，则 φ(mn)=‾\varphi(mn)=\underline{\qquad}。

  2. 已知 φ(n)=8\varphi(n)=8，则 nn 的最大正整数值为 ‾\underline{\qquad}。

  3. 今天是周三，220252^{2025} 天后是周 ‾\underline{\qquad}。

  4. 同余式 7x≡1(mod31)7x\equiv1\pmod{31} 的解为 ‾\underline{\qquad}。

  5. gcd⁡(a,b)⋅lcm⁡(a,b)=‾\gcd(a,b)\cdot\operatorname{lcm}(a,b)=\underline{\qquad}。

  6. 已知 n=24⋅32⋅5n=2^4\cdot3^2\cdot5，则 φ(n)=‾\varphi(n)=\underline{\qquad}。

  7. 718 mod 19=‾7^{18}\bmod19=\underline{\qquad}。

  8. 设 n>1n>1 为整数，若不存在满足 2≤d≤n2\leq d\leq\sqrt n 的整数 dd 使得 d∣nd\mid n，则 nn 是 ‾\underline{\qquad}。

  9. 已知 x≡2(mod3)x\equiv2\pmod3，则 2025x2025+2024x2024+⋯+2x2+x2025x^{2025}+2024x^{2024}+\cdots+2x^2+x 模 33 的余数为 ‾\underline{\qquad}。

  10. 模 2424 的简化剩余类为 ‾\underline{\qquad}。

三、计算题（每题 10 分，共 30 分）​

  1. 求整数 s,ts,t，使得 as+bt=(a,b)as+bt=(a,b)。

    （1）a=759, b=455a=759,\ b=455。

    （2）a=936, b=585a=936,\ b=585。

  2. 解同余式 143x≡812(mod1009)143x\equiv812\pmod{1009}。

  3. 解同余方程组

    {x≡1(mod2),x≡3(mod7),x≡8(mod15).\begin{cases} x\equiv1\pmod2,\\ x\equiv3\pmod7,\\ x\equiv8\pmod{15}. \end{cases}

四、证明题（10 分）​

证明：对任意 a,b,c∈Za,b,c\in\mathbb Z，存在 s,t,u∈Zs,t,u\in\mathbb Z，使得

as+bt+cu=(a,b,c).as+bt+cu=(a,b,c).